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数学
-- 線型代数
Last updated Mar. 12, 2008
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記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>incomp -MYPEDIA Math- 線型代数 Linear algebra 1 概要 線型代数とは、行列やベクトルを扱う数学の一分野。この項では線型代数に関連 する公式類をまとめる。 2 行列の操作 2.1 転置行列 転置行列とは、元の行列の行と列を入れ替えてできる行列のこと。A の転置行列 を AT や tA、Atr などと表記する。T, t, tr の部分は演算子なので、表記としてはイタ リックではなく立体にする。 転置行列の性質には以下のようなものがある。 転置行列の性質 (AT)T = A, (A + B)T = AT + BT (kA)T = kAT, (AB)T = BTAT 2.2 トレース 行列の対角成分の和をトレースと呼び、tr A などと表記する。 日本語では跡 (せき) と言う。 トレースの定義と性質を次に示す。 トレースの定義と性質 トレースの定義 tr A = n ∑ i=1 aii トレースの性質 tr(A ± B) = tr A ± tr B tr(kA) = k · tr A tr(AB) = tr(BA) tr(AT) = tr A 1 Math 一覧へ . . incomp -MYPEDIA Math- 2.3 行列の積と一般の積の相違点 行列の積は分配法則が成り立つなど、通常の積に似た性質を持つ反面、異なる部 分もある。 まず、多くの積は可換 (交換法則が成り立つ) であるが、行列の積は非可換。 また、行列の積が O であっても、かけた行列がともに O でないことがありうる。 O でないものを掛け合わせて O となったとき、掛け合わせた行列を零因子と呼ぶ。 積の非可換 行列の積は一般には非可換 AB = BA 零因子の存在 AB = O であっても A = O または B = O とは限らない A = O, B = O で AB = O のとき、A, B を零因子と呼ぶ 2.4 特別な正方行列 正方行列のうちで特別に名前が付けられているものを挙げておく。 単位行列 対角成分がすべて 1 で、その他の成分が 0 (E, I) スカラー行列 対角成分がすべて同じで、それ以外の成分が 0 (aE) 対角行列 対角成分以外の成分がすべて 0 上三角行列 対角成分より下にある成分がすべて 0 下三角行列 対角成分より上にある成分がすべて 0 対称行列 AT = A つまり aij = aji 交代行列 AT = −A つまり aij = −aji (対角成分はすべて 0) べき等行列 A = A2 = A3 = · · · べき零行列 Ak = O となる k が存在する (incomplition) 2 Math 一覧へ . .