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数学
-- 積の分布，商の分布
Last updated Aug. 1, 2011
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記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>comp -MYPEDIA Math- 積の分布，商の分布 1 概要 確率変数の和の分布は一般に畳み込みによって得られるが，ここでは積の分布や 商の分布について扱う． 2 変数変換による和の分布 確率変数 X，Y の和の分布 pX+Y (t) は畳み込みによって得られるが，これは z = x + y, w = y という変数変換をしているという解釈もできる． 変数変換による和の分布 X − Y 平面から Z − W 平面への写像を考える．それぞれの平面に割り 当てられる確率は等しいことから pZ,W (z, w)dzdw = pX (x)pY (y)dxdy = pX (z − w)pY (w)dxdy = pX (z − w)pY (w)|J|dzdw = pX (z − w)pY (w)dzdw |J| = dx dz dx dw dy dz dy dw = 1 pX+Y (z)dz = w=∞ w=−∞ pZ,W (z, w)dzdw = w=∞ w=−∞ pX (z − w)pY (w)dzdw = (pX ∗ pY )(z) 3 確率変数の積の分布 和の場合と同様に考えることで，積の分布を算出することができる． 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 変数変換による積の分布 独立な確率変数X，Y の積の分布pXY (t)はz = xy, w = y (x = z/w, y = w) と変数変換をすることによって以下のように求まる．X − Y 平面か ら Z − W 平面への写像を考えると，それぞれの平面に割り当てられる 確率は等しいことから pZ,W (z, w)dzdw = pX (x)pY (y)dxdy = pX (z/w)pY (w)dxdy = pX (z/w)pY (w)|J|dzdw = pX (z/w)pY (w) 1 w dzdw |J| = dx dz dx dw dy dz dy dw = 1 w − z w2 0 1 = 1 w pXY (z)dz = w=∞ w=−∞ pZ,W (z, w)dzdw = w=∞ w=−∞ pX (z/w)pY (w) 1 w dzdw 4 確率変数の商の分布 同様に，商の分布を算出することができる．ただし，Y = 0 となる場合がある際 は注意が必要． 2 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 変数変換による商の分布 独立な確率変数 X，Y の商の分布 pX/Y (t) は z = x/y, w = y (x = zw, y = w) と変数変換をすることによって以下のように求まる．X − Y 平面から Z − W 平面への写像を考えると，それぞれの平面に割り当て られる確率は等しいことから pZ,W (z, w)dzdw = pX (x)pY (y)dxdy = pX (zw)pY (w)dxdy = pX (zw)pY (w)|J|dzdw = pX (zw)pY (w)wdzdw |J| = dx dz dx dw dy dz dy dw = w z 0 1 = w pX/Y (z)dz = w=∞ w=−∞ pZ,W (z, w)dzdw = w=∞ w=−∞ pX (zw)pY (w)wdzdw 図 1 に正規分布に従う確率変数 X ∼ N(15, 1)，Y ∼ N(10, 1) の商 X/Y の分布を モンテカルロシミュレーションと比較したものを示す．Pr(X ≥ 0) ̸= 0 を仮定でき る条件下では理論値とシミュレーション値が一致した． 3 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- ! !"# $ $"# % %"# & ! !"# $ $"# % %"# & '() *+, -./01-23, 図 1: 正規分布の比の分布 4 Math 一覧へ . .