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数学
-- 積分法
Last updated Nov. 30, 2009
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記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>comp -MYPEDIA Math- 積分法 Integration 1 概要 積分にはリーマン積分やルベーグ積分などいくつか種類があるが、ここではリー マン積分について主に記す。 区分的に連続 (不連続点が有限個) な関数はすべてリーマン積分が可能である。一 方、無限個の不連続点を持つ関数はリーマン積分ができない可能性があり、その際は ルベーグ積分を考える。リーマン積分可能な関数であれば、リーマン積分とルベー グ積分の結果は一致する。 ある関数を積分した関数の積分定数を除いた部分を元の関数の原始関数と呼ぶ。 2 積分の技巧 2.1 有理関数の積分 有理関数の積分は、部分分数に分解してから微分することで比較的簡単に積分を 実行できる。部分分数分解をうまく実行する方法についてはヘビサイド展開定理の 項目を参照1。 2.2 三角関数の積分 三角関数の微分は tan x 2 = t とおくことによって、見かけ上、三角関数を積分内か ら消去することができる。 tan x 2 = t による置換 tan x 2 = t と置くと cos x = 1 − t2 1 + t2 , sin x = 2t 1 + t2 , dx = 2 1 + t2 dt また、三角関数が 2 乗のみしか登場しないのであれば、tan x = t と置くことも有 効である。 1ヘビサイド展開 . . 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- tan x = t による置換 tan x = t と置くと cos2 x = 1 1 + t2 , sin2 x = t2 1 + t2 , dx = 1 1 + t2 dt これらは三角関数の相互関係と加法定理などを用いれば簡単に確認できる。 2.3 無理関数の積分 特定の形の無理関数から構成される関数は、置換を工夫することによって有理関 数の積分に帰着できることが知られている。表 1 にその一覧を示す。 表 1: 有理関数に帰着できる無理関数の形と置換法 無理関数の形 置換法 n √ ax + b n √ ax + b = t n ax + b cx + d n ax + b cx + d = t √ x2 + ax + b √ x2 + ax + b = t − x (x − α)(β − x) x − α β − x = t √ a2 + x2 x = a tan t − π 2 < t < π 2 √ a2 − x2 x = a sin t − π 2 ≤ t ≤ π 2 √ x2 − a2 x = a cos t 0 ≤ t ≤ π, t = π 2 2.4 種々の関数の原始関数 代表的な関数の原始関数を表 2 に示します。 2 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 表 2: 代表的な関数の原始関数 f(x) f(x) f(x) f(x) xα 1 α + 1 xα+1 (α = −1) 1 x log |x| ex ex ax ax log a log x x(log x − 1) loga x x(log x − 1) log a cos x sin x cosh x sinh x sin x − cos x sinh x cosh x tan x − log | cos x| tanh x log | cosh x| 1 cos x log 1 cos x + tan x 1 cosh x sin−1(tanh x) log tan x 2 + π 4 2 tan−1(ex) 1 sin x log 1 sin x − 1 tan x 1 sinh x − cosh−1(ex) log tan x 2 log tanh x 2 1 tan x log | sin x| 1 tanh x log | sinh x| cos−1 x x cos−1 x − √ 1 − x2 cosh−1 x x cosh−1 x − √ x2 − 1 sin−1 x x sin−1 x + √ 1 − x2 sinh−1 x x sinh−1 x − √ x2 + 1 3 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- f(x) f(x) f(x) f(x) tan−1 x x tan−1 x − 1 2 log(1 + x2) tanh−1 x x tanh−1 x + 1 2 log(1 − x2) 1 x2 + a2 1 a tan−1 x a 1 x2 − a2 1 2a log x − a x + a 1 √ a2 − x2 sin−1 x a , − cos−1 x a 1 √ x2 + A log x + √ x2 + A √ a2 − x2 1 2 x √ a2 − x2 √ x2 + A 1 2 x √ x2 + A +a2 sin−1 x a +A log x + √ x2 + A 4 Math 一覧へ . .