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数学
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Last updated Mar. 12, 2008
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comp -MYPEDIA Math- 三角関数 Trigonometric function 1 概要 単位円上から x, y 軸に下ろした垂線によって定義される関数。sin で表される正弦 関数、cos で表される余弦関数、tan で表される正接関数からなる。 また、これらの逆数をそれぞれ正割、余割、余接などと呼ぶこともある。 2 相互関係 2.1 三角関数の逆数 三角関数の逆数は cosec(または csc), sec, cot を使って次のように表されることも ある。 三角関数の逆数 cosec x = csc x = 1 sin x , sec x = 1 cos x , cot x = 1 tan x 2.2 三角関数の逆関数 三角関数の逆関数は通常、肩に-1 をつけて標記するが、次に記すように arc をつ けて表すこともある。また、逆関数を考えるとき、x に対して多数の y が対応して しまうと考えにくいので、x や y に制限を加えるのが普通である。 三角関数の逆関数 y = arcsin x = sin−1 x, ( −1 ≤ x ≤ 1, − π 2 ≤ y ≤ π 2 ) y = arccos x = cos−1 x, (−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π) y = arctan x = tan−1 x, ( −∞ < x < ∞, − π 2 < y < π 2 ) 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 2.3 双曲線関数との関係 3.1 のオイラーの公式を使えば、双曲線関数1と三角関数との間に次の関係がある ことがわかる。 三角関数と双曲線関数の関係 cos(ix) = e−x + ex 2 = cosh x sin(ix) = e−x − ex 2i = i sinh x 2.4 一般の複素数への拡張 3.1 のオイラーの公式、または 3.2 の加法定理を使うことで、三角関数の定義域を 一般の複素数に次のように拡張することができる。 複素数への拡張 cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y 2.5 tan x 2 で表す tan x 2 = t とおくと、三角関数はそれぞれ次のように有理関数として表すことがで きる。これは置換積分などで利用される。 tan x 2 で cos x, sin x, tan x を表す cos x = 1 − t2 1 + t2 sin x = 2t 1 + t2 cos x = 2t 1 − t2 1双曲線関数 . . 2 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 3 公式 3.1 オイラーの公式 オイラーの公式を使えば、三角関数を指数関数で表すことができるようになる。 詳しくはオイラーの公式の項目を参照2。 三角関数を指数関数で表す cos x = eix + e−ix 2 sin x = eix − e−ix 2i 3.2 加法定理 加法定理は和や差の三角関数をそれぞれもとの三角関数を使って表す公式である。 証明はオイラーの公式を使って簡単にできる。 加法定理 sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan(α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β 3.3 倍角の公式 加法定理で α = β = x とすると 2 倍角の公式が得られ、さらに変形すると次の公 式が得られる。この式には、三角関数の 2 乗や中身が同じときの積を 1 乗で表すこ とができるという意味合いがある。 2 乗や積を 1 乗で表す cos2 x = 1 + cos 2x 2 sin2 x = 1 − cos 2x 2 sin x cos x = 1 2 sin 2x 2オイラーの公式 . . 3 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 同様に3倍角の公式からは三角関数の3乗を1乗の形に表しなおす公式が得られる。 三角関数の 3 乗を 1 乗で表す cos3 x = 3 cos x + cos 3x 4 sin3 x = 3 sin x − sin 3x 4 3.4 積和の公式 中身が同じ三角関数の積をひとつにまとめるには、3.3 の倍角の公式を適用すれば よいが、中身が異なる三角関数の積を 1 乗の三角関数に変形するには積和の公式を 使う。ちなみに、式 (1) を α = β とすれば倍角の公式とまったく同じものになる。こ の公式は加法定理から導かれる。 積を和に変形する公式 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β) 2 sin α sin β = − cos(α + β) + cos(α − β) 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) 2 (1) 3.5 和積の公式 3.4 の積和の公式の右辺から左辺への変形を考えると、和積の公式が導ける。これ を使うと、中身の異なる同種の三角関数の和や差を積の形に変形することができる。 また、sin の差の公式もあるが、sin の和の公式の sin B = − sin(−B) であることを 考えれば容易に導けるので省く。 和を積に変形する公式 cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A − B 2 cos A − cos B = −2 sin A + B 2 sin A − B 2 sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A − B 2 4 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 3.6 三角関数の合成 三角関数の合成とは、加法定理を利用して中身が同じ sin と cos の和や差をひとつ の sin や cos に表現する式変形である。和積の公式は同種の三角関数にしか使えない が、合成公式は sin と cos の和をひとつの sin に合成することができる。 三角関数の和をひとつに合成する a sin x + b cos x = √ a2 + b2 sin(x + α) ただし、α は点 (a, b) の偏角 これは、座標平面上に点 (a, b) を考えると a, b それぞれの位置に加法定理がうまく 成り立つ cos, sin が見つけることができるということを示している。点 (a, b) の偏角 を α、原点との距離を r とすると、a = r cos α, b = r sin α と表せるので、 a sin x + b cos x = r cos α sin x + r sin α cos x (∵ a = r cos α, b = r sin α を代入) = r(sin x cos α + cos x sin α) = r sin(x + α) (∵ 加法定理) = √ a2 + b2 sin(x + α) 3.7 極限と微積分 三角関数の微積分についてはそれぞれ、微分法と積分法の項目を参照34。 また、それらの導出には次の極限が重要となる。この極限をロピタルの定理など とうまく使うことで、三角関数を含む極限を求めることができることがある。ロピ タルの定理については極限の項目を参照5。 三角関数の極限 lim x→0 sin x x = 1 この極限は図 1 に示すように中心角 x の弧と sin x の値が x 0 では近似できると いうことを表している。 3微分法 . . 4積分法 . . 5極限 . . 5 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 図 1: 中心角 x の弧と正弦の関係 3.8 テイラー展開 上述の公式の多くは三角関数同士の変形であるが、テイラー展開6を使えば、三角 関数はべき級数に変換することもできる。 3.9 部分分数分解 三角関数は部分分数分解することが可能であるが、ここでは詳細は省く。 3.10 ド・モアブルの公式 自然数 n に対して次の等式が成り立つ。証明はオイラーの公式を使ってもできる が、cos x + i sin x は複素平面の単位円上に乗る点であり、絶対値は 1 であるから、 その積は絶対値 1、偏角 n 倍の複素数であることは当然である。 ちなみにこれは、指数法則 (eix)n = einx に対応する。 ド・モアブルの公式 (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx), (n ∈ N) 6テイラー展開 . . 6 Math 一覧へ . .