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数学
-- 期待値と分散
Last updated Jan. 30, 2011
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記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>incomp -MYPEDIA Math- 期待値と分散 Mean and Variance 1 概要 本項では、期待値や分散に関する公式を中心に取り上げる。 2 公式 2.1 条件付き期待値 条件付き期待値に関して次の公式が成り立つ． 条件付き期待値の性質 条件付き期待値に関して以下の性質が成り立つ． E [E[X|Y ]] = E[X] (1) E[XY |Y ] = Y E[X|Y ] また，X，Y が互いに独立のとき， E[X|Y ] = E[X] 2.2 条件付き分散 条件付き分散に関しては以下の性質が知られている． 条件付き分散に関する性質 Var[X] = E[Var[X|Y ]] + Var[E[X|Y ]] 1 Math 一覧へ . . incomp -MYPEDIA Math- この証明は以下の通り． (X − E[X])2 = (X − E[X|Y ] + E[X|Y ] − E[X])2 = (X − E[X|Y ])2 + (E[X|Y ] − E[X])2 + 2(X − E[X|Y ])(E[X|Y ] − E[X]) Var[X] = E [ (X − E[X])2 ] = E [ E [ (X − E[X])2|Y ]] ((1) より) = E[E[(X − E[X|Y ])2 + (E[X|Y ] − E[X])2 + 2(X − E[X|Y ])(E[X|Y ] − E[X])|Y ]] = E[E[(X − E[X|Y ])2|Y ] + E[(E[X|Y ] − E[X])2|Y ] + 2 E[(X − E[X|Y ])(E[X|Y ] − E[X])|Y ]] = E[Var[X|Y ]] + Var[E[X|Y ]] + 2 E[(X − E[X|Y ])|Y ](E[X|Y ] − E[X])] = E[Var[X|Y ]] + Var[E[X|Y ]] + 2 (E[X|Y ] − E[X|Y ])(E[X|Y ] − E[X])] = E[Var[X|Y ]] + Var[E[X|Y ]] 上記の公式を利用することによって，i.i.d. に従う確率変数を確率的に変動する個 数分だけ足し上げた際の分散が計算できる．証明は上記の公式を X = X1 + X2 + · · · + XN ，Y = N と読み替えれば簡単にできる． i.i.d. の確率変数個の和の分散 i.i.d. に従う確率変数 Xn (n = 1, 2, · · · ) と確率変数 N が独立のとき，以 下の等式が成り立つ． Var[X1 + X2 + · · · + XN ] = Var[X1 ]E[N] + E[X1 ]2Var[N] 2.3 積の分散 以下は、積の分散を各確率変数の分散で表す公式。 2 Math 一覧へ . . incomp -MYPEDIA Math- 積の分散 確率変数 X, Y が独立のとき、積の分散は X, Y それぞれの分散とそれぞ れの期待値 ¯ X, ¯ Y で以下のように表せる。 Var[XY ] = Var[X] · Var[Y ] + ¯ X2 · Var[Y ] + ¯ Y 2 · Var[X] (incomplition) 3 Math 一覧へ . .