WATAPEDIA
--
数学
-- 時間平均
Last updated Apr. 10, 2010
Home
Return
PDFを表示
記事が表示されない場合は,ブラウザが非対応です.
上のPDFを表示をクリックしてください.
comp -MYPEDIA Math- 時間平均 1 概要 ここでは,確率過程の時間平均の挙動について書く. 2 時間平均の定義 時間平均の定義 確率過程 X(t) の時間平均は以下のように定義される. X = lim L→∞ 1 L ∫ L 0 X(t)dt 3 有限区間の時間平均 3.1 期待値 確率過程X(t)が定常であれば, X(t)を有限区間で積分した時間平均 ˜ XL = 1 L ∫ L 0 X(t)dt の期待値は,無限区間で積分した時間平均に一致する.さらに,X(t) がエルゴード 性を持てば,時間平均は空間平均 E[X(0)] に一致する. E [ ˜ XL ] = E [ lim L→∞ 1 L ∫ L 0 X(t)dt ] = lim L→∞ 1 L ∫ L 0 E [X(t)] dt = E [X(t)] lim L→∞ 1 L ∫ L 0 dt = E [X(t)] 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 3.2 分散 定常確率過程 X(t) を有限区間で積分した時間平均 ˜ XL = 1 L ∫ L 0 X(t)dt の分散は以 下のように自己共分散関数を用いることで与えられる.これは,時間平均の収束の 速さを意味している. 有限区間での時間平均の分散 確率過程 X(t) が定常であるとすると,有限区間で積分した時間平均の 分散は以下のようなる. Var [ ˜ XL ] = 2 L2 ∫ L 0 (L − τ) R(τ)dτ R(τ) = Cov(X(t), X(t + τ)) = E [X(t)X(t + τ)] − {E [X(t)]}2 非定常の場合は以下の通り. Var [ ˜ XL ] = 1 L2 ∫ L 0 ∫ L 0 R(t1 , t2 )dt1 dt2 R(t1 , t2 ) = Cov(X(t1 ), X(t2 )) これは,以下に示すように離散確率過程の場合の自然な拡張になって いる. Var [ X1 + X2 + · · · + Xm m ] = 1 m2 Var [X1 + X2 + · · · + Xm ] = 1 m2 m ∑ i=1 m ∑ j=1 Cov(Xi , Xj ) 2 Math 一覧へ . .