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-- インボリュートとインボリュート歯車
Last updated Nov. 23, 2012
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comp -MYPEDIA Math- インボリュートとインボリュート歯車 Involute, Evolvent, 開伸線, Involute Gear 1 概要 インボリュート (Involute, Evolvent) とは開伸線といい,微分幾何の分野で,与え られた曲線に巻きつけた糸を弛まないように解くときに端点が描く曲線のことであ る (アニメーション参照). 2 媒介変数表示された曲線のインボリュート 曲線のインボリュートは,元の曲線から解いた部分の糸の長さ,すなわち解いた 部分の元の曲線の長さだけ,元の曲線上の点をその接線方向に平行移動した曲線で あることから,媒介変数表示で表した曲線の長さの公式を用いることで一般形を得 ることができる. 媒介変数表示した曲線のインボリュート 媒介変数 t によって極座標表示された曲線 (x(t), y(t)) のインボリュート (X, Y ) は以下の式で与えられる. X = x − x′ ∫ t a √ x′2 + y′2dt √ x′2 + y′2 Y = y − y′ ∫ t a √ x′2 + y′2dt √ x′2 + y′2 3 円のインボリュート 円のインボリュートは図 1 にあるように渦巻き様の曲線となる (アニメーション も参照).円のインボリュートは反クロソイド (anti-clothoid) などとも呼ばれる. なお,アニメーション作成のために書いた Perl スクリプトを http://wkouw.web. fc2.com/WATAPEDIA math/Word involute/Addition/Involute of circle.plに置 いておきます.アニメーションの他に PostScript での出力も可能です. 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 図 1: 円のインボリュート 円のインボリュートの方程式は,媒介変数表示を用いることで以下のように与え られる. 円のインボリュートの媒介変数表示 円のインボリュート上の座標 (x, y) は媒介変数 t を用いることで以下の 等式で与えられる. x = a(cos t + t sin t) y = a(sin t − t cos t) ここで,a は糸を巻きつける円の半径を表し,t は解いた糸の量 (角度) に相当する. 4 インボリュート歯車 円のインボリュートは歯車曲線とも呼ばれ,工業製品などの部品として用いられ る歯車の歯の形状として広く用いられている (図 2).円のインボリュートを歯の形 状として採用している歯車はインボリュート歯車と呼ばれる.インボリュート歯車 は図 3 に示すように,歯車 A,B2 つの歯車の円の接線と歯同士の接線が垂直に交わ るため,歯車 A の回転の力が無駄なく歯車 B に伝わる. なお,インボリュート歯車の作図のために書いたPerlスクリプトをhttp://wkouw. web.fc2.com/WATAPEDIA math/Word involute/Addition/Involute Gear.pl に置 いておきます.SVG 及び PostScript での出力に対応しています. 2 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 図 2: 歯車の歯に用いられる円のインボリュート 図 3: インボリュート歯車の力の伝わり方 5 サイクロイドのインボリュート サイクロイドのインボリュートは図 4 にあるように元のサイクロイドを並行移動 した曲線になることが知られている (アニメーションも参照). なお,サイクロイドのインボリュートのアニメーション作成のために書いたPerl ス クリプトをhttp://wkouw.web.fc2.com/WATAPEDIA math/Word involute/Addition/ Involute of cycloid.pl に置いておきます.アニメーションの他に PostScript で の出力も可能です. 3 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 図 4: サイクロイドのインボリュート サイクロイドのインボリュートの方程式は,媒介変数表示を用いることで以下の ように与えられる. サイクロイドのインボリュートの媒介変数表示 サイクロイドのインボリュート上の座標 (x, y) は媒介変数 t を用いるこ とで以下の等式で与えられる. x = a(t + sin t) y = a(3 + t cos t) ここで,a はサイクロイド作図の際に直線状を転がる円の半径を表す. 4 Math 一覧へ . .
インボリュートのアニメーションとインボリュート歯車の作図.
SVGアニメーション(円のインボリュート)
円のインボリュート
描画に使ったPerlスクリプトは
こちら
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SVGアニメーション(サイクロイドのインボリュート)
サイクロイドのインボリュート
描画に使ったPerlスクリプトは
こちら
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SVG画像(インボリュート歯車)
インボリュート歯車
描画に使ったPerlスクリプトは
こちら
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