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数学
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Last updated Jan. 4, 2009
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記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>comp -MYPEDIA Math- ガンマ分布 Gamma distribution 1 概要 ガンマ分布は形状パラメータ k と尺度パラメータ θ を持ち，x > 0 で定義される 連続型の確率分布．形状パラメータが整数のものはアーラン分布とも呼ばれる． 2 密度関数 ガンマ分布の密度関数は以下の通り。密度関数のグラフは図 1 に示す。 ガンマ分布の密度関数 f(x) = xk−1 e−x/θ Γ(k)θk (x > 0) 0 (x ≤ 0) Γ(a) = ∫ ∞ 0 ta−1e−tdt ! !"# !"$ !"% !"& ' '"# ! # $ % & '! ()'*+,-+.)' ()#*+,-+.)' ()/*+,-+.)' ! !"!# !"$ !"$# !"% !"%# !"& !"&# !"' ! % ' ( ) $! *+%,-./-0+$ *+%,-./-0+% *+%,-./-0+& 図 1: ガンマ分布の密度関数 3 分布関数 ガンマ分布の分布関数は以下の通り。分布関数のグラフは図 2 に示す。 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- ガンマ分布の分布関数 F(x) = γ(k,x/θ) Γ(k) (x > 0) 0 (x ≤ 0) γ(a, x) = ∫ x 0 ta−1e−tdt ! !"# !"$ !"% !"& ' '"# ! # $ % & '! ()'*+,-+.)' ()#*+,-+.)' ()/*+,-+.)' ! !"# !"$ !"% !"& ' '"# ! # $ % & '! ()#*+,-+.)' ()#*+,-+.)# ()#*+,-+.)/ 図 2: ガンマ分布の分布関数 4 モーメント ガンマ分布の平均と分散は以下の通り。 ガンマ分布のモーメント E[X] = kθ Var[X] = kθ2 5 再生性 パラメータ k, θ のガンマ分布 (アーラン分布) はパラメータ θ の指数分布に従う独 立な k 個の確率変数 X1 , X2 · · · Xk の和 Y = X1 + X2 + · · · + Xk の分布と捉えること ができる．よって，形状母数が k = 1 のガンマ分布は指数分布に一致する． また，このことからガンマ分布は再生性を持つため，それぞれパラメータ k1 , θ と k2 , θ のガンマ分布に従う確率変数 Y1 , Y2 の和 Y3 = Y1 + Y2 の分布はパラメータ k1 + k2 , θ のガンマ分布になる． 2 Math 一覧へ . .