WATAPEDIA
--
数学
-- 不変推定量
Last updated Nov. 16, 2010
Home
Return
PDFを表示
記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>comp -MYPEDIA Math- 不偏推定量 unbiased estimator 1 概要 標本抽出によって得られた推定量の平均が，母集団の値に一致するとき，その推 定量を不変推定量という． 2 母集団の平均の推定 母集団の平均の推定 平均 µ，分散 σ2 を持つ母集団から，標本 X1 , X2 , X3 , · · · , Xn を取る場合 を考える．このとき，以下の推定量は母集団の平均の不変推定量になっ ている． ¯ X = 1 n n i=1 Xi このことは以下のように証明できる． E ¯ X = E 1 n n i=1 Xi = 1 n n i=1 E [Xi ] = 1 n n i=1 µ = µ 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 3 母集団の分散の推定 一方分散の推定の場合 n で割ると不変推定量にならず，n − 1 で割ると不変推定 量になる．これは，分散の推定の場合，分散の推定量の中に平均の推定値が含まれ てしまうため，標本のばらつきに加え平均値のばらつきも加えられてしまうためで ある． 母集団の分散の推定 平均 µ，分散 σ2 を持つ母集団から，標本 X1 , X2 , X3 , · · · , Xn を取る場合 を考える．このとき，以下の推定量は母集団の分散の不変推定量になっ ている． ˆ σ2 = 1 n − 1 n i=1 (Xi − ¯ X) 2 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- n で割った場合の分散の推定値が，不変推定量になっていないことは以 下のように証明できる． E 1 n n i=1 (Xi − ¯ X)2 = E 1 n n i=1 X2 i − 2 ¯ X n i=1 Xi + ¯ X2 = E 1 n n i=1 X2 i − ¯ X2 = 1 n n i=1 E X2 i − E ¯ X2 = 1 n n i=1 E X2 i − nµ2 − E ¯ X2 − µ2 = 1 n n i=1 E X2 i − µ2 − E ¯ X2 − µ2 = 1 n n i=1 E (Xi − µ)2 − E ( ¯ X − µ)2 = 1 n n i=1 σ2 − E ( ¯ X − µ)2 = σ2 − E ( ¯ X − µ)2 = σ2 − σ2 n ¯ Xの分散 = (n − 1)σ2 n このことから，n − 1 で割ることで不変推定量になることもわかる． 3 Math 一覧へ . .