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数学
-- オイラーの公式
Last updated Mar. 12, 2008
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comp -MYPEDIA Math- オイラーの公式 Euler’s formula 1 概要 e の虚数乗と三角関数とを結びつける有名な公式。e の虚数乗をテイラー展開1に より定義しようとすると、その形が三角関数のテイラー展開の和になっていること から証明ができる。 オイラーの公式を使うことによって、幾何的でイメージしやすい三角関数と代数 的に扱いやすい指数関数を複素数の世界を介して相互に変換することが可能になる。 特に x = π のときをオイラーの等式と呼び、その意外性とシンプルさから、数学 の中で最も美しい等式のひとつとされている。 2 公式 オイラーの公式を次に示す。 オイラーの公式 eix = cos x + i sin x オイラーの公式は各関数をマクローリン展開 (x = 0 におけるテイラー展開) をし てみれば簡単に確認できる。 ex のマクローリン展開は ex = ∞ ∑ n=0 1 n! xn eix, cos x, sin x のマクローリン展開を書くと eix = ∞ ∑ n=0 1 n! (ix)n = 1 +ix − 1 2! x2 −i 1 3! x3 + 1 4! x4 +i 1 5! x5 − 1 6! x6 −i 1 7! x7 + · · · cos x = 1 − 1 2! x2 + 1 4! x4 − 1 6! x6 + · · · sin x = x − 1 3! x3 + 1 5! x5 − 1 7! x7 + · · · 1テイラー展開 . . 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- となり、eix = cos x + i sin x が見事成り立っていることが確認できる。 特に x = π のとき、オイラーの等式と呼び、次のように表せる。 eiπ − 1 = 0 3 三角関数からの変形 オイラーの公式より、三角関数を指数関数で表す変形式も得られる。 三角関数を指数関数で表す cos x = eix + e−ix 2 sin x = eix − e−ix 2i cos x の導き方を以下に示す。 オイラーの公式より eix = cos x + i sin x (1) e−ix = cos x − i sin x (2) (1) と (2) の両辺を足して eix + e−ix = 2 cos x cos x = eix + e−ix 2 この等式を見れば、双曲線関数 ex+e−x 2 = cosh x や ex−e−x 2 = sinh x が三角関数と類 似の記号で扱われる理由も納得できる。 また、この等式を用いて加法定理を証明することができ、三角関数の加法定理は 指数法則の eα+β = eα · eβ に対応していることにも気づく。 2 Math 一覧へ . .