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数学
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Last updated Apr. 13, 2010
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記事が表示されない場合は，ブラウザが非対応です．<br>上のPDFを表示をクリックしてください．<br><br><br><br><br><br><br>comp -MYPEDIA Math- ベイズの定理 Bayes’ theorem 1 概要 本項では，ベイズの理論について取り上げる． 2 条件付確率 条件付確率は次のように定義されている． 条件付確率の定義 P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) また，上の定義式を変形すると，積集合を条件付確率で表すこともできる． 積集合を条件付確率で表す P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) 3 全確率の公式 全確率の公式は，まずくじを引く箱を選んで，さらに選んだ箱からくじを引く場 合など，(特に独立でない)2 つ以上の事象を扱うときに使う．ある事象 A が起こる確 率を直接出すのは難しいが，Bi が起こったという条件下で A が起こる確率と Bi が 起こる確率ならば容易に出せるという状況で威力を発揮する． 全確率の公式 事象 Bi (i = 1, 2, · · · , n) が排反でかつ Ω = ∪ n i=1 Bi のとき，任意の事象 A について P(A) = n ∑ i=1 P(A|Bi )P(Bi ) 1 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- たとえば次のような状況で使う． 例題) 赤青 2 つの箱にそれぞれ当たりくじが 1 本ずつ，外れくじが赤に 2 本，青に 3 本入っていて，まず箱を選んでさらにくじを引くとき，当たりが出る確率を 求める． 赤青それぞれの箱を選ぶ事象を B1 , B2 ，当たりくじを引く事象を A とする． 選ぶ箱によって確率が変わるので A を直接求めることはできないが，選ぶ箱 Bi が決定していれば P(A|Bi ) は簡単に求まる．この状況で全確率の公式が有効なので， これを使うと， P(A) = 2 ∑ i=1 P(A|Bi )P(Bi ) = 1 3 · 1 2 + 1 4 · 1 2 = 7 24 4 ベイズの公式 条件付確率の式に全確率の公式を合わせることによって，ベイズの公式が導かれる． ベイズの公式は，関係性がある (独立でない)A, B2 種類の事象がある状況で適用 される公式である．ベイズの公式を使えば，A が起こったという条件下で Bi が起こ る確率 P(Bi |A) を求めるのが困難なときに，逆の Bi が起こった条件下で A が起こ る確率 P(A|Bi ) を使って表すことができる． これはスパムメールの判別や，インターネット検索の精度向上，製品の規格検査 の精度検証など様々な分野に利用されている． ベイズの公式 事象 Bi (i = 1, 2, · · · , n) が排反でかつ Ω = ∪ n i=1 Bi のとき，任意の事象 A について P(Bj |A) = P(A|Bj )P(Bj ) ∑ n i=1 P(A|Bi )P(Bi ) 2 Math 一覧へ . . comp -MYPEDIA Math- 例題を示す． 例題 1) 赤青 2 つの箱にそれぞれ当たりくじが 1 本ずつ，外れくじが赤に 2 本，青に 3 本入っていて，まず箱を選んでさらにくじを引くとする．今，当たりが出た という事がわかっているとき，赤い箱を選んでいた確率を求める． 選ばれる箱と，当たりが出るか否かという関係性のある 2 種類の事象について，条 件付確率を考えている． 赤青それぞれの箱を選ぶ事象を B1 , B2 ，当たりくじを引く事象を A とする． これは当たりが出たという条件下で赤い箱が選ばれているという条件付確率だか ら，求めるのは P(B1 |A) であるが，これは容易にはわからない．一方，箱が特定さ れていて当たりが出る確率 P(A|Bi ) ならば容易にわかる． そこで，P(B1 |A) を P(A|Bi ) で表すベイズの公式を使うと， P(B1 |A) = P(A|B1 )P(B1 ) ∑ 2 i=1 P(A|Bi )P(Bi ) = 1 3 · 1 2 1 3 · 1 2 + 1 4 · 1 2 = 4 7 例題 2) ある感染症に感染している人の割合は， 5 100 と推定されている．感染してい るかどうかを知る検査は不完全で，感染している人は 80% の割合で陽性反応 が出るが，感染していない人でも 10% の割合で陽性反応が出てしまう．今，こ の検査で陽性反応が出たとき，本当に感染している確率を求める． 感染しているか否かと，陽性が出たか否かの 2 種類の関係性のある事象について 条件付確率を考えている． 今，感染しているという事象を B1 ，感染していないという事象を B2 とし，陽性 が出るという事象を A とする． これは，陽性が出たという条件下で感染しているという条件付確率であるから P(B1 |A) を求めたいが，これは容易には求められない．一方，感染しているという 条件下で陽性が出る確率 P(A|B1 ) は調べられているので，ベイズの公式を用いて， P(B1 |A) = P(A|B1 )P(B1 ) ∑ 2 i=1 P(A|Bi )P(Bi ) = 8 10 · 5 100 8 10 · 5 100 + 1 10 · 95 100 = 8 27 3 Math 一覧へ . .